背包问题

普通背包：

贪心时间复杂度:O(nlogn)

首先计算每种物品单位重量的价值Vi/Wi，然后，依贪心 选择策略，将尽可能多的单位重量价值最高的物品装入背包。若 将这种物品全部装入背包后，背包内的物品总重量未超过C，则选 择单位重量价值次高的物品并尽可能多地装入背包。依此策略一 直地进行下去，直到背包装满为止

//program 2.3 背包问题 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int M=10005;
struct node{double w;//每个物品的重量double v;//每个物品的价值double p;//性价比
}s[M];bool cmp(node a,node b){//自定义比较函数 return a.p>b.p;//根据物品的单位价值从大到小排序
}double solve(int n,double W){double sum=0.0;//sum表示示装入物品的价值之和double cleft=W;//背包剩余容量 for(int i=0;i<n;i++){//贪心算法求解 if(s[i].w<=cleft){//如果物品的重量小于等于剩余容量 cleft-=s[i].w;sum+=s[i].v;}else{//如果物品的重量大于剩余容量 sum+=cleft*s[i].p;//部分装入break;}}return sum; 
}int main(){int t,n;//t为测试用例个数,n为物品个数double W;//背包容量 cin>>t;while(t--){cin>>n>>W;for(int i=0;i<n;i++){cin>>s[i].w>>s[i].v;s[i].p=s[i].v/s[i].w;//每个宝物单位价值}sort(s,s+n,cmp);cout<<solve(n,W)<<endl;//输出装入宝物的最大价值}return 0;
}

分别用动态规划法、回溯法、分支限界法设计 0-1背包问题 

 动态规划法时间复杂度:O(nc) c是背包容量。

这是因为需要填写一个二维数组来记录子问题的解。

//program 4.8 01背包 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
const int maxw=10005;
int c[maxn][maxw];//c[i][j]表示前i个物品放入容量为j的背包获得的最大价值
int w[maxn],v[maxn];//w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值
bool x[maxn]; //x[i]表示第i个物品是否放入背包int knapsack(int n,int W){for(int i=1;i<=n;i++){//计算c[i][j]for(int j=1;j<=W;j++){if(j<w[i])  //当物品的重量大于背包的容量，则不放此物品c[i][j]=c[i-1][j];else    //否则比较此物品放与不放哪种情况使得背包内的价值最大c[i][j]=max(c[i-1][j],c[i-1][j-w[i]]+v[i]);} }return c[n][W];
}void print(int n,int W){//逆向构造最优解int j=W;for(int i=n;i>0;i--){if(c[i][j]>c[i-1][j]){x[i]=1;j-=w[i];}elsex[i]=0;}cout<<"装入背包的物品序号为:";for(int i=1;i<=n;i++){if(x[i])cout<<i<<"  ";}  cout<<endl; 
}int main(){int n,W,t;//n表示n个物品，W表示背包的容量，t表示测试用例数 cin>>t;while(t--){cin>>n>>W;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>v[i];for(int i=1;i<=n;i++)//初始化第0列为0c[i][0]=0;for(int j=1;j<=W;j++)//初始化第0行为0c[0][j]=0;cout<<knapsack(n,W)<<endl;//print(n,W);}return 0;
}
/*测试数据 
2
5 10
2 6
5 3
4 5
2 4
3 6
4 52
12 13
10 24
22 13
9 24
*/

回溯法O(2的n次方）

//program 5.2 01背包 
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;
const int maxn=105;
int n; //物品数量
double W; //背包容量
double w[maxn],v[maxn];//w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值
double cw,cp,bestp; //当前重量，当前价值，最优值
bool x[maxn];  //x[i]表示第i个物品是否放入背包
bool bestx[maxn];  //最优解double bound(int i){//计算上界（已装入物品价值+剩余物品(第i~n种物品)的总价值）double rp=0;while(i<=n){//依次计算剩余物品的价值rp+=v[i];i++;}return cp+rp;
}void backtrack(int t){//回溯法，t为层次 if(t>n){//到达叶子for(int j=1;j<=n;j++)//记录最优解 bestx[j]=x[j];bestp=cp;//记录最优值 return ;}if(cw+w[t]<=W){//如果满足约束条件，搜索左子树x[t]=1;cw+=w[t];cp+=v[t];backtrack(t+1);cw-=w[t];//还原现场 cp-=v[t];}if(bound(t+1)>bestp){//如果满足限界条件，搜索右子树x[t]=0;backtrack(t+1);}
}int knapsack(){cw=0.0,cp=0.0,bestp=0.0; //当前放入背包的物品重量，价值，最优值backtrack(1);cout<<bestp<<endl;
//    for(int i=1;i<=n;i++){ //输出最优解
//        if(bestx[i]==1)
//    		cout<<i<<" ";
//    }
//	cout<<endl;
}int main(){int t;//t表示测试用例数 cin>>t;while(t--){cin>>n>>W;for(int i=1;i<=n;i++)cin>>w[i]>>v[i];knapsack();}return 0;
}
/*测试数据 
2
5 10
2 6
5 3
4 5
2 4
3 6
4 52
12 13
10 24
22 13
9 24
*/

分支限界法时间复杂度接近于O(2^n)

//program 6.2 01背包 普通队列bfs AC 831ms 
#include<iostream>
#include<queue>
using namespace std;
const int maxn=105;
int n; //物品数量
double W; //背包容量
double w[maxn],v[maxn];//w[i]表示第i个物品的重量，v[i]表示第i个物品的价值
double bestp,sumv; //当前重量，当前价值，最优值，总价值  
bool bestx[maxn];  //最优解struct node{double cp,rp; //cp当前放入背包的物品价值，rp剩余物品的价值double rw; //剩余容量int id; //物品号node() {}node(double _cp,double _rp,double _rw,int _id){cp=_cp;rp=_rp;rw=_rw;id=_id;}
};void knapsack_bfs(){queue<node> q; //创建一个普通队列(先进先出)q.push(node(0,sumv,W,1)); //根结点入队 while(!q.empty()){ //如果队列不空node cur,lc,rc;//定义三个结点型变量cur=q.front();//取出队头元素q.pop(); //队头元素出队
//        cout<<cur.cp<<" "<<cur.rp<<" "<<cur.rw<<" "<<cur.id<<endl;int t=cur.id;//当前物品序号if(t>n) continue;if(cur.cp+cur.rp<bestp) continue;int cp=cur.cp;int rp=cur.rp-v[t];if(w[t]<=cur.rw){ //满足约束条件，可以放入lc=node(cp+v[t],rp,cur.rw-w[t],t+1);//生成左孩子 if(lc.cp>bestp)//比最优值大更新bestp=lc.cp;q.push(lc);//左孩子入队}if(cp+rp>bestp){//满足限界条件rc=node(cp,rp,cur.rw,t+1);//生成右孩子 q.push(rc);//右孩子入队}}
}int main(){int t;//t表示测试用例数 cin>>t;while(t--){cin>>n>>W;bestp=0.0,sumv=0.0; //sumv为所有物品的总价值for(int i=1;i<=n;i++){cin>>w[i]>>v[i];sumv+=v[i];} knapsack_bfs();cout<<bestp<<endl;}return 0;
}
/*测试数据 
1
4 10
2 6
5 3
4 5
2 4
*/